L'école buisonnière des mathématiques

Pour illustrer le propos d'Alison Blank, enseignante de mathématique en école secondaire aux Etats-Unis, nous pouvons dire que les maths ressemblent plus à un buisson qu'au tronc bien droit d'un épicéa. Ceci, parce que les différentes composantes des mathématiques sont inextricablement liées les unes aux autres, et non pas organisées les unes derrière les autres dans un ordre supposément logique. Pourtant, cette approche "buissonnante" est délaissée dans les apprentissages scolaires des maths, qui en ordonnent les composantes de manière linéaire. Voici un programme-type de mathématiques :

Un peu d’arithmétique
Suivi par de l’algèbre
De la géométrie
Une autre pincée d’algèbre (pour faire un lien avec la géométrie par la trigonométrie, par exemple)
Du calcul
Etc.

Le but de tout cela est de donner aux élèves, en théorie, les outils pour mieux progresser dans leur compréhension des mathématiques. Or, Alison Blank s'élève vigoureusement contre cette pratique et remet en cause son efficacité. Elle expose son raisonnement dans une merveilleuse présentation Prezi pleine d'humour.

Les inconvénients de la linéarité

Le manque de sens. A. Blank récuse l'idée qu'il faille systématiquement aller du plus facile au plus difficile, sachant que cette approche supprime tous les liens entre les composantes de la science mathématique. On ne s'étonnera pas alors du manque de motivation chez les élèves, qui ne voient pas le sens de leurs apprentissage. En effet, comment stimuler l’élève lorsqu’on lui dit que les connaissances qu’il acquiert en ce moment ne lui serviront que l’an prochain ou dans deux ou trois ans? Adopter mécaniquement l'ordre du manuel n'apparaît pas comme une raison suffisante, pour les élèves, d'écarter des sujets potentiellement intéressants mais qui seornt abordés plus tard.

A. Blank défend l'idée que, contrairement aux croyances populaires, les jeunes sont capables de s'intéresser à des sujets complexes, au-delà de leurs compétences supposées, de temps à autre. Et même, ils aiment ça, selon elle.

Une vision étroite des mathématiques. La linéarité des programmes impose son rythme à travers une progression très prévisible. Ce qui est en soi une qualité (l'on sait toujours ce que l'on doit étudier à l'étape suivante), mais se transforme en défaut dès qu'en enseignant et des élèves font preuve de curiosité et dévient de la route. Pourtant, c'est l'approche buisonnière, au sens propre du terme, qui met du plaisir et du sens dans l'apprentissage des maths, qui permet notamment à des élèves en difficultés dans cette matière de raccrocher, et aux bons élèves de ne pas rester passifs devant une vaste discipline, qui va bien au-delà des programmes académiques.

Injecter de la passion mathématique

Alors, comment enseigner les mathématiques différemment pour développer de l'intérêt pour cette discipline ? A. Blank émet quelques recommandations.

Ne pas hésiter à sortir du programme. A. Blank donne l’exemple d'un de ses élèves qui se demandait s’il existait un chiffre plus petit que tous les autres, mais plus grand que zéro. L'enseignante anima un débat sur les propriétés d’une telle possibilité, ce qui la mena à aborder la question des nombres hyperréels. Cette notion n'est évidemment pas présente dans le programme de la classe, mais s'éavérait fort pertinente dans ce cas précis. Certes, tous les élèves n'ont sans doute pas saisi le détail de cette notion, mais tous ont compris que la science mathématique offrait des horizons nouveaux et inattendus...

Faire du lien entre les apprentissages passés, présents et à venir. Il arrive parfois que les élèves doivent résoudre des problèmes avec des méthodes simples alors qu'il en existe de plus complexes qui permettent d'aller beaucoup plus vite. Pour Alison Blank, il faut se permettre – sans nécessairement l’enseigner – de leur dire qu’il y a des façons de faire plus efficaces qu’ils aborderont au cours de leur cheminement scolaire. Cela peut sembler sadique, mais au fond, l’idée est de démontrer que ce qu’ils assimilent sera un tremplin pour d’autres connaissances à venir. En contrepartie, on doit aussi rappeler les liens entre ce qu’ils effectuent et ce qu’ils ont acquis dans le passé. L'essentiel étant ici de faire du lien entre les apprentissages et d'encourager les élèves à aller de l'avant.

Laisser les élèves chercher eux-mêmes. L'enseignante suggère également de ne pas donner de "boîtes à outils" prêtes à l'emploi aux élèves, mais de les laisser chercher eux-mêmes des solutions, des méthodes de calcul...L'enseignant n'ntervient qu'en support à ses élèves et ne leur fournit la méthode adéquate qu'en cas d'impasse. Par exemple, si les élèves ont appris les racines carrées, sauront-ils utiliser ces mêmes éléments, mais avec des chiffres négatifs? Cette approche inductive (de la tâche à la théorisation) permet de montrer qu'il y a une logique dans les mathématiques, que ce ne sont pas uniquement des formules sorties de nulle part.

Enseigner la culture mathématique. A. Blank encourage tous les enseignants de maths à traiter les grandes questions mathématiques qui ne sont pratiquement pas abordées dans les programmes du secondaire : la théorie des nombres ou des ensembles, l'histoire des mathématiques, les grandes preuves mathématiques ou l'interprétation des statistiques. Si cela ne peut se faire dans l'horaire imparti, pourquoi alors ne pas monter un club de mathématiques, en annonçant les questions traitées sous une forme attractive, par voie d'affiches ?

A. Blank est manifestement une passionnée des mathématiques et de leur enseignement. Beaucoup d'enseignants de cette discipline le sont aussi, comme en témoigne par exemple la vivacité de leurs discussions sur le net. Il ne leur reste plus qu'à oser sauter le pas, entrer dans le buisson des maths plutôt que de faire croire qu'il s'agit d'une ligne droite. La présentation d'A. Blank sur Prezi a déjà provoqué de nombreuses discussions, preuve de l'intérêt du débat.

Math is not linear, en anglais, Alison Blank, 10 juin 2010

Illustration : Math Chaos / D Al Mudhaf, Flickr / CC BY 2.0